“代入消元法解二元一次方程组”说课
严鸥鸿：北京市八一中学 中学一级
一、数学分析
本节内容选自人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册 8.2的第一课时内容。在此之前，学生已经学习了二元一次方程组的概念。用代入消元法解二元一次方程组是解二元一次方程组的基本方法之一，它既是对解一元一次方程的延伸与拓展，又是为以后求一次函数和二次函数的解析式的基础。代入消元法有时需要将方程中一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，进行等量代换，实现消元。这种转化的方式不但适用于解方程组，也适用于其它含有多个未知数的方程、不等式的问题。这都体现了代入消元法的重要的作用。
二、不同教材对比
北师大版教材、苏教版教材对代入消元法解二元一次方程组的教学安排略有不同，北师大版教材把二元一次方程组这一章安排在八年级上，一次函数之后。并且还有一节是用二元一次方程组求一次函数解析式。苏教版教材和新人教版教材都把这一章放在了七年级下，一次函数之前。不管哪种安排都体现了二元一次方程组的解法在初中代数中的重要地位和作用。三种教材只是在问题引入的实际背景不同，教学要求和教学实施与处理都基本一致。
三、教材内容及教学重点、难点分析
1 ．教学内容：
方程、方程组是代数研究的主要内容，一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，虽然教材只介绍了二元（三元）一次方程组的概念、解法，但实际上我们可以类似的得到多元一次方程组的相关知识。所以在教学过程中要注意在学生已有认识的基础上发展新知识，做好一元到二元、三元以及多元的转化。关注实际问题情境，体现数学建模思想；重点落实解方程组过程中蕴涵的消元化归思想。
2 ．教学重点：代入法的一般步骤 ,会用代入法解二元一次方程。
3 ．教学难点：对代入消元法解方程组过程的理解及方程组未知数系数都不为 1(或 -1)时 ,如何用一个未知数表示另一个未知数。
四、课程标准与教学目标分析
1 ．知识目标
课程标准要求：掌握用代入法解二元一次方程组。
2 ．数学思考
学生通过探索，逐步发现解方程的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程。
3 ．解决问题
体会“将未知数的个数由多化少，逐一解决”的消元思想。
4 ．情感态度
渗透了算法中程序化的思想，又有助于培养学生良好的学习习惯，提高思考的深度。
五、教学策略及教法设计
1 ．教学策略
鼓励学生自主探究：什么是代入法？怎么代入？从代入数，到将一个未知数用另一个未知数表示，等量代换代入消元。问题设计层层递进。同时让学生合作交流、小组竞赛，学生互判评价，这样能有针对性的纠错，满足学生多样化的学习要求，加强对学生学习的主动性和探究性的培养。
2 ．教法设计
由于学生已学过解一元一次方程，所以教学时针对本节特点，在教学过程中采用自主、探究、合作交流的教学方法，由教师提出明确问题，学生积极参与讨论探究、合作交流，进行总结，使学生从中获取知识。
六、教学过程设计与分析
教
学
目
标 |
知识技能 |
了解“代入消元法”，并掌握用代入法解二元一次方程组。通过代入消元，使学生初步理解把未知转化为已知和复杂问题转化为简单问题的思想方法。 |
数学思考 |
学生通过探索，逐步发现解方程的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程。 |
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解决问题 |
体会 “将未知数的个数由多化少，逐一解决”的消元思想。这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。 |
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情感态度 |
渗透了算法中程序化的思想，又有助于培养学生良好的学习习惯，提高思考的深度。 |
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重点 |
了解代入法的一般步骤 ,会用代入法解二元一次方程 |
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难点 |
对代入消元法解方程组过程的理解 |
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课题： 代入消元法解二元一次方程组 1. 代入法 3.例题与练习
2 ．代入法解二元一次方程组的步骤
总结收获 |
教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”。我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解。早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性。 |
问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
1 ．创设情境，复习导入 提出一个实际问题：市场上 1斤苹果售价 3元， 1斤梨售价 2元，小明和妈妈买了苹果 x斤，买梨 y斤，共用了 18元钱，问苹果和梨之间的等量关系是什么？ 学生找出等量关系：苹果的总价 +梨的总价 =18元 列出方程为： 3x+2y=18 （ 1）教师提问：上式是一个二元一次方程，它有无数个解，与身边的同学讨论，添加什么样的条件可以找出一组解呢？
（ 2）再提出问题：如果不知道一个未知数的值，而只知道两个未知数的一种关系式时，哪又如何解呢？
（ 3）添加条件 3：妈妈买的苹果的 2倍比梨多 5斤。可列方程组为： 你从上面的学习中体会到解二元一次方程组的基本思路是什么吗？
学生先讨论，教师小结。
2 ．新知讲解 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
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教师巡视时去发现与以下几个添加条件类似的，让学生写在黑板上。
增加一个条件 1：已知妈妈买了苹果 2斤 学生可以列方程组
如果增加条件 2为：妈妈买的苹果比梨多 1斤，可列方程组： 就是把方程①代入方程②，就可以得到 3（ y +1） +2 y =18 ．这样，我们就把二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以求出 y了。
比较一下这个方程组的形式与上一个方程组的形式有什么区别？如何转化？（关键是将方程①转化为含一个未知数的代数式表示另一个未知数。） 归纳：解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即二元→一元。 主要过程是： （ 1）将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。 （ 2）并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。 |
要想求出两个未知数的值，必须先知道其中一个未知数的值。这为用代入法解二元一次方程组打下基础，即消去一个未知数，转化为一元一次方程去解。这样导入比较自然，同时联系旧知 ,激发学生的求知欲。
层层递进 ,让学生真正理解代入法的本质。
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，哪又如何解呢？ 
， 教学过程设计
问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
学生观察：如何用代入法解方程组？ 本题求解的关键是什么？ 观察刚才用代入法解方程组的过程，你能归纳用代入法解二元一次方程组的一般步骤怎样？ 主要步骤有那些？ （小组讨论，选一名代表发言）
这些步骤中最关键的是哪一步？
经过我们的分析，清楚了最为关键的步骤就是变形的步骤，一定要选择好要表示的未知数。
3. 练习思考 练习： 用代入法解下列方程组： （ 1）
（ 2） 这两道题你分别选择了怎样的变形方式？理由是什么？ |
（关键是把“二元”→“一元”，用 y+3代替 x代入 ② 式中的 x） （比较选择用 y 表示 x 的优势）
（板书）
（强调解题的规范性）
（ 1）变形：（将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示。）（注意选择好要消去的未知数） （ 2）代入：（用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，消去一个未知数得到一个一元一次方程。） （ 3）求解：（解上面的一元一次方程求得一个未知数的值，再把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。） （ 4）写解：（写出方程组的解。） 简化计算。 |
解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程这对于学生知识的形成十分重要。
让学生会选择合适的方程进行变形，进而简化计算，通过对比，可以加深对它的理解。激发学生思考整体代入的方式进行代入消元。
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解方程组 
教学过程设计
问题与情境 |
师生行为 |
设计意图 |
4. 活动与交流 ①小组竞赛（小组分工，每人负责一题，展示学生的解题，用红笔交换小组互判。）
②说一说你所判的这道题对方做的怎么样？哪些地方做得好值得你学习？哪些地方做错了，分析一下他的错误，组内交流。小组汇总，进行汇报。 5. 总结收获 （先让学生们谈谈这节课的收获，教师再强调。） （ 1）解二元一次方程组的基本思想是什么？ （ 2）代入法解二元一次方程组的一般步骤。 （ 3）养成先观察的好习惯，选用合理、简捷的方法解题。 6 ．布置作业 用代入法解下列方程组
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学生先解题 ,再小组互换判。
进行错误分析。 让学生分组讨论第（ 4） (5)题，是否有简便方法求它的解？
消元思想、转化思 想。
如果时间允许，可以选择 A 、 B 、 C 组各一道进行课堂检测。 |
给予学生自我思考和解题的时间和空间，通过详细评讲让学生更好理解和掌握代入消元法的关键步骤，以及学会解简单的二元一次方程组。 通过错误的分析 ,学生自主总结易错点 ,主动寻找避免错误的方法 ,养成良好的计算习惯 ,提高计算能力。
加强对所学知识点的巩固提高，加深对所学知识的理解与应用。
及时检测，对知识落实很有效。
作业分层设计 ,落实主知识的同时满足不同层次学生的需求。 |
（ A） 
（ B） 
（ C）