“二元一次方程（组）”说课

张兆利：北京市十一学校 中学高级

数学分析：

人教版《二元一次方程组》被安排在 7年级下册第八章的位置，通过本章知识的学习，除了落实二元一次方程（组）的解法以外，还应该做好数学思想的渗透，数学思考的习惯培养，以及通性通法（程序化）的理解等。

我们知道二元一次方程广义 ，狭义 是初中学生接触的第一个不定方程。

二元一次方程相比一元一次方程，未知数次数没有变化，未知数增加了一个，解的形式、解的个数都发生比较大的变化。特别是解的形式的几何意义是点的坐标，这种数形结合的体验要分散进行，螺旋式上升，在本章初次体验，将来在《一次函数》会再次体验，在高中的《线性规划》还会体验，不要要求一步到位。二元一次方程虽然有无数个解但是不意味着任意的有序数对都是解，它是有规律性的。

教学中我们应该思考或设计一些问题使学生深刻体会二元一次方程。

例如：

二元一次方程的解与一元一次方程的解的形式有何不同？突出有序实数对无数个解是否意味着任意两个数都是二元一次方程的解呢？解的规律性某些二元一次方程的解如果限定为整数（正整数）如何求解？思想方法提升二元一次方程的解可以在平面直角坐标系内表示吗？它们有什么特点？数形结合思想渗透，从形的角度审视二元一次方程，以及二元一次方程的解。

接下来，我们要进入二元一次方程组的解法，这是初中方程知识的重点，也是学生解方程的完善。

将二元一次方程组的解法转化为一元一次方程的解法是本章核心思想，即“消元”是核心。

我们老师要理解代入消元法与加减消元法区别在什么地方：

代入消元至少需要多少步？（非特殊情况 7步）

加减消元需要多少步？（需 5步）

哪种方法更适合程序化？

两种方法的优劣？以及方程知识发展的方向？

高斯消去法是否符合方程同解原理？理由是什么？要不要给学生介绍？

P108 的阅读与思考：《一次方程的古今解法》带给我们怎样的思考？这些思考我们用什么样的方式传递给学生？

P108 的数学活动 1又带给我们怎样的思考？这些思考我们用什么样的方式传递给学生？

二元一次方程组在初中教材中除了承载计算的训练以外，它承载的更多的是研究方程发展的方向多元和高次。

加减消元是适合多元一次方程的通用解法（高斯消去法）；代入消元法是解决二元二次方程组（高中的解析几何）中常用的方法。

从方程角度看二元一次方程是最简单的多元方程；从函数角度看二元一次方程是一次函数；从解析结合角度看二元一次方程（组）即从高等代数角度看是线性规划知识的起点，行列式，矩阵都从此起步。

总之，在二元一次方程组这一章，如果在计算落实过程中或落实之后，能够引领学生进行带有研究味道的数学活动，更宽角度的理解二元一次方程组会对学生的数学素养，数学思考有很大的提高。

综上：二元一次方程（组）在数学系统知识上，思想方法上，算理算法上起着重要的作用。

二元一次方程（组）在计算能力方面是进一步落实一元一次方程的有关方程的计算能力，以及利用方程模型解决实际问题的能力，是对一次代数式计算的第三次螺旋式上升。

课程标准分析：

在《课程标准》 P5页中有这样的叙述：

在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

P18 页中关于方程与方程组有这样的解说：

（ 1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

（ 5）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。

（ 6）能解简单的三元一次方程组。

所以从课标中可以看出，计算能力是义务教育阶段应该注重培养的能力，本章无疑承载这样的作用，其次模型思想也是本章应该渗透的。

教材对比分析：

首先从知识内容安排顺序上看：

苏教版安排在《实数》《平面直角坐标系》之前，《一元一次方程》《整式乘除与因式分解》之后；

北师版安排在《实数》《平面直角坐标系》《一次函数》之后；

华师版安排在《实数》《平面直角坐标系》之前，《一元一次方程》之后；

鲁教版安排在《实数》《平面直角坐标系》《一次函数》之后；

冀教版安排在《一元一次方程》之后；

人教版安排在《一元一次方程》《平面直角坐标系》之后。

在内容处理上：

苏教版，华师版 , 冀教版是最为保守的，只是在方程的角度扩充和上升；人教版比较中庸，适当的在数学活动中联系了方程的解是有序实数对，将二元一次方程的解有限度的拓展到平面直角坐标系；北师版，鲁教版最为大胆，他们的设计使二元一次方程承载了更多的内容，函数观点融合进来了。显然二元一次方程组除了计算功能，他们添加了更多的现代数学知识进来，更具挑战性。

重点分析：

《二元一次方程（组）》的重点显然是使学生接受并掌握解决多元方程的基本思路消元，并会熟练求解二元一次方程组。

《二元一次方程（组）》的难点一是从代数（解），几何（有序实数对）角度理解为什么消元后所求的未知数的值是方程组的解；二是《二元一次方程（组）》的解为什么与一元一次方程必有唯一解不同，它有三种可能：唯一解、无解、无数多解三种情况以及这三种情况对应的系数关系。

教学设计：

“ 二元一次方程组的解法 1”教学设计

设计意图 ：

1. 学生经历观察→发现问题、类比、转化→选择方法→解决问题；

2. 学生总结归纳→形成程序化方法（算法）；

3. 学生通过学习过程体会消元思想、转化思想。

一、内容和内容解析：

本节主要内容为二元一次方程组的解法，“消元”是解二元一次方程组的基本思路，代入消元和加减消元是“消元”的最基本的方法。本节可探究解二元一次方程组的通法，即把解法程序化也是本节应渗透的内容。

（ 1）初中代数研究的重点问题是方程思想，而函数知识只是初步研究，许多函数，以及函数性质在高中将更深入的研究。二元一次方程组是方程和函数知识的一个结合点，二元方程就刻画了两个变量之间的函数关系，而待定系数法求函数解析式、函数的交点问题等，又需要利用解方程组来进行计算。

因此，学好二元一次方程组的解法会给后续学习打下良好基础，深刻体会消元、转化思想，会对学生数学思想的深入有很大益处。

（ 2）多元转化为一元，高次降低为一次的化归思想，贯穿了数学学习、研究的始终；不仅应用于数学解题，而且是一种最基本的思维策略，化归思想是本节课教学中所要重点突出的数学思想。

故在本章的教学和学习中，不能仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质。

数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，还需要学生自身的感受和理解。

（ 3）算法是一个新的课题，各种算法，程序已经成为计算机时代的必要知识，它使得数学等知识进入计算机，从而又促进科学技术进步和社会发展。

算法已经成为高中必修课程中的内容，算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又具有高度的抽象性、概括性和精确性。算法学习使我们更加全面地理解运算能力，还能够发展逻辑思维能力。

本节课在对二元一次方程组解法的探究过程中，可以很好地体现上述内容。一方面引导学生探究解二元一次方程的步骤，进而体会解二元一次方程组的通解通法，并通过框图初步感受程序化的思想。

由于学生的年龄以及认知水平有限，还不能完全理解算法的概念，所以在对二元一次方程组解法的探究过程中，重点在解给定具体系数的方程组，慎重延伸探究含字母公式化的解法，因此定位应该在渗透程序化思想上，而不应把算法的学习作为本节课的重点。

二、目标及重难点分析：

教学目标：

（ 1）理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知向已知转化的过程，培养观察分析能力，体会化归思想；初步体会解方程组过程中体现的程序化思想；

（ 2）能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，培养运算能力；

（ 3）在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣。

教学重点：

理解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解二元一次方程组。

教学难点：

学生探究并理解为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程。

教学过程设计：

在此之前 ,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质，以及二元一次方程解的个数，以及特征（有序数组）。今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组。

（一）探究新知

例题：解二元一次方程组

 

追问：

1. 在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”。

2. 能否消去“ ”去求解呢？

3. 学生不一定代入（ 3） ,也可能代入（ 1）或（ 2），代入哪里对，代到哪里好呢？

4. 在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法．

我们利用刚才的办法再来训练一道题目，同时思考我们利用代入消元法的步骤（程序）是什么？做完后将每一步总结出来。

 

追问：

1. 在“为什么可以加减”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”。

2. 能否利用加减消去“ ”去求解呢？

3. 学生不一定代入（ 3） ,也可能代入（ 1）或（ 2），代入哪里对，代到哪里好呢？

4. 在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？

小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法。

我们利用刚才的办法再来训练一道题目，同时思考我们利用加减消元法的步骤（程序）是什么？做完后将每一步总结出来。

我们共同来总结一下代入消元法的步骤。

对比思路 1、思路 2，进行总结：

问题 1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？

（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个。）

问题 2：两种方法的不同点是什么？

（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”。）

问题 3：哪一种方法更有优势？各需要多少运算步骤？

问题 4：两种解法的步骤分别是什么？

问题：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案 1）？

预设学生思路 3

（学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法，注意纠正学生解题步骤中的细节问题。）

（三）归纳总结

思考：这节课我们学习了什么？

问题 1：这节课我们研究的主要内容是什么？

代入、加减消元法解二元一次方程组。

问题 2：解法的主要步骤是什么？

变形、代入（加减）、求解、回代、结论。

我们以练习⑴、练习⑵为例，再次回顾解二元一次方程组的基本步骤。

代入消元法解方程组的基本步骤：

代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示；

⑵代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程；

⑶求解：求出一元一次方程的解；

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解；

⑸结论：写出方程组的解。

加减消元法解方程组的基本步骤：

加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？

⑴变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数；

⑵加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程；

⑶求解：求出一元一次方程的解；

⑷回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解；

⑸结论：写出方程组的解。

问题 3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？

（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）

问题 4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？

（分析如何消元能简化运算等。）

（四）布置作业