形成运算技能，提高运算能力 --例解分式方程

张月清：北京市八一中学 中学高级

王秀丽：北京市八一中学 中学一级

一、数学分析

主体地位：分式方程中所涉及的问题情境全部来源于实际生产、生活中，作为某些类型实际问题的数学模型，具有整式方程不可替代的特殊作用。同时，运算技能的训练是代数学的基本任务，也是本章的教学目标。如何形成运算技能，提高学生的运算能力，在学生解算理的基础上，通过必要的练习使学生切实掌握它们，成为在解分式方程的教学中一个重要的环节。同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子，在知识体系中呈现螺旋式的上升，分式方程的解法在其中具有承上启下的作用。

二、标准分析

义务教育《数学课程标准》中对分式方程一课的目标要求是“能解可化为一元一次方程的分式方程”。

三、学生分析

在学习本章之前，学生已两次学习过整式方程，对于一元一次方程的解法及基本思路已经比较熟悉，即使学生已熟知整式方程的解法步骤，在解方程的过程中，运算技巧等诸多因素导致运算能力依然是一个薄弱环节，过了运算这一关，是初中学生树立数学学习信心的载体。本节教材内容对学生的语言表达、面对困难的勇气、互相帮助、互相交流的学习方式等非智力因素的影响程度也是很大的。关注学生不仅会解分式方程，而且还重视使学生认识解法的依据，使学生能知其然也知其所以然。只有这样才能提高学生的运算能力，从而提高学生学习数学的能力。

四、教育分析

基于以上的学情分析，本节课采用探究学习，分组合作交流的学习方式，解分式方程的步骤渗透类比、化归、程序化的数学思想。

五、教材分析

人教版、北师大版、华师大版的数学教材对分式方程一课的设置形式、学习能力要求上基本相似，本节课的教学设计以人教版教材八年级上册第十五章《分式》中的解分式方程设计教学。

六、教学设计

（教学设计节选解分式方程部分为例，对学生的运算能力做具体分析，分析如何提高运算能力，解决学生的运算问题）

例 1.解方程：

生： 观察这个方程左右两边的形式、特征，类比学过的方程知识，思考如何求解分式方程？

（观察思考，探究，合作交流自己的想法，同学之间互相分享自己的成果）

探究结果呈现：

生 1： 利用小学学习过的比例式的性质，交叉相乘，可得， 2x=3(x-3)，化归成了熟悉的一元一次方程。

生 2： 等号左右两边是两个分式，利用刚刚学过的分式的通分法则，将等号两边的式子化成同分母的分式，可得 , 观察，此方程两边分母相同，所以分子相等： 2x=3(x-3)，仍然转化成了整式方程求解。

生 3： 寻找与整式方程的不同点，类比含分数系数的一元一次方程中的去分母解法探究此分式方程的解法；分式方程与整式方程的最大不同之处，就是分母中含有未知数，利用等式的性质，两边同乘分母的最简公分母，就可以将分母去掉，转化成为我们熟悉的整式方程，方程两边同乘以 x(x-3)得， 2x=3(x-3)。

师： 对比以上解法的不同和相通之处，无论是哪一种解法，最终都是将分式方程转化为整式方程求解，板书规范去分母解分式方程的格式：

解：去分母，方程两边同乘以 x(x-3)得，

2x=3(x-3)

去括号得， 2x=3x-9

移项得， 2x-3x=-9

合并同类项得， -x=-9

系数化为 1得， x=9

突破难点的教学方式： 解分式方程的关键步骤是“去分母”，如何去分母，类比解一元一次方程，如 也需要去分母，这是两种方程解法的相通之处，但是那时是在方程两边同乘一个具体的不等于 0的数，因此所得方程与原方程同解，分式方程就不一样了，去分母时方程两边同乘的是一个式子，式子可能为 0，这是可能会产生增根的主要原因，也是解分式方程必须要检验的原因，分析清楚这个原因，也就突破了本节课的教学难点。

检验：将 x=9代入原方程中， ，所以 x=9是原分式方程的解。

设计意图： 例 1选择了形式上比较简单的分式方程，便于学生能够用多种方法求解同样的方程，发散思维，利于探究。因为分式方程的主要特征就是分母中含有未知数，因此它的解法比整式方程复杂，在认识了整式方程之后继续学习分式方程，是构建方程知识体系过程中的又一次提高。

小结收获： 化简整理变形后的整式方程（根据解一元一次方程的步骤），抓住分式方程的特殊性，就能体会解分式方程的基本思路是非常自然、合理的，而不是死记硬背解法步骤来学会解分式方程。

从这个方程的特征上观察，无法直接选用上面生 1交叉相乘的方法，将生 2的通分解法与直接去分母的解法对比：

通分解法： 去分母解法

检验：将 x=1代入到最简公分母 (x-1)(x+2)中，得 (x-1)(x+2)=0

所以原分式方程无解。

生： 对比两道例题，归纳解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程转化为整式方程，分式方程与整式方程在解法上的内在联系，结合具体例子分析产生增根的原因，解整式方程最终将其化为 x=a的形式。

师： 归纳总结解分式方程时，通常要将其化为整式方程，这个整式方程的解与原分式方程的解之间的关系：原分式方程的解都是这个整式方程的解，但是反之并不一定成立。

设计意图： 与整式方程相比，分式方程的不同之处就在于分母中含有未知数，因此在解法上与整式方程会有着两个明显的区别：（ 1）解分式方程要通过去分母转化成整式方程（ 2）通过去分母得出的整式方程的解必须经过检验，因为去分母时方程两边同时乘以的是一个含未知数的式子而不是一个非零常数。由于解一元一次方程已经不是新问题，所以上述两点就成为解分式方程的关键步骤。

小结收获： 根据例题中解方程出现的问题和收获，学生归纳总结解分式方程时易出现的运算错误，寻找减少运算失误，提高运算能力的方法。

1 ．找出分母的“最简”公分母，使运算简便，减低运算难度；

2 ．去分母之前先观察分式方程的形式，数清等号两边共几项，避免常数项漏乘；

3 ．重视解整式方程中的几个易错点，去括号法则中括号前是负号的情况；

4 ．去分母后有多项式的保留括号，去分母去括号同时完成，很容易造成个别项忘记改变符号的错误；

5 ．系数化为 1时，两边同时除以未知数的系数，而不要除反了；

6 ．求出方程的解后一定要检验。

课堂小结： 框架图归纳解分式方程的一般步骤：

课堂评价： 分必做题和选做题

设计意图： 课堂评价设置必做题和选做题，尊重学生的个体差异，因材施教给基础较弱的学生巩固课堂所学知识的机会，增强学习的信心，获得成功的喜悦；给程度较好的学生挑战更高一级的学习目标，加深对所学知识的理解和运用，加强学生在语言表达、面对困难的勇气，对未知事物的好奇心、互相帮助、互相交流及学习方式的选择等方面都会有所收获。

小结收获： 分式方程的解法教学应始终抓住分式方程的特征，去认识解分式方程的基本思路，抓住特征就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程认识的基础上再认识分式方程的解法。

七、教学反思和教学效果预评估

1 ．数学思想的渗透：利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为 x=a的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想。

2 ．关于预算技巧，在真正的教学过程中，由于刚刚学完分式的通分运算，在解分式方程时，个别学生还未脱离分式加减法的运算思维，单纯的只对分式方程的一边的分式进行通分加减运算，将方程两边化成同分母的分式，然后合并后，再让分子相等，化为整式方程，求出整式方程的解，这种情况运算和书写起来都比较麻烦，也容易忽视掉增根的情况。

3 ．运算的背景与法则

背景：等式的基本性质、一元一次方程的解法

法则：去括号法则，合并同类项法则等

4 ．提高运算能力的方法：重视变式训练，提高运算的熟练性；重视解题过程的规范化，提高运算的准确性。