“分式方程”说课

尼江声：北京市八一中学 中学高级

陈娴：北京市八一中学 中学一级

【教学背景分析】

一、 教材分析

分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升 , 是进一步学习研究其它分式方程的基础 , 为解决实际问题拓宽方法。 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母，但去分母时可能引起方程同解性的变化。因此，验根是解分式方程过程中必不可少的重要环节。利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，再解出未知数，最后检验确认，这一过程蕴含着化归思想 、 类比思想和程序化的思想。

基于以上分析，确定本课的教学重点：可化为 一元一次方程 的分式方程的解法。

二、 课程分析

《标准》中降低了式的运算和变形的难度和技巧。对于分式方程 ,只要求解可化一元一次方程的分式方程 ,并且方程中的分式不超过两个；可化为一元一次方程的分式方程没有列入《标准》之内。所以本节课在教学过程中重视分析分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。例题和练习中没有出现繁难的计算。

三、学情分析

教学对象是八年级学生，在学习分式方程前，学生已经掌握了一元一次方程、二元一次方程（组）的解法，并能利用这些知识解决实际问题，而本节学习的是可化为一元一次方程的分式方程，学生第一次接触，在对整式方程的认识还不够深人的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备，对此内容的接受会有较大困难。由于学生在解整式方程时往往会有一种思维定势，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”会产生疑惑和不理解。因此在教学中，教师要引导学生抓住分式方程的特殊性，从等式的性质 2出发，认识解分式方程可能产生增根的原因和验根的必要性，提升认知水平。

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：了解用去分母的方法解分式方程可能产生增根的原因。

【教法分析】

本节课采取学生自主探索，合作交流，教师引导的方式开展教学， 鼓励学生从多角度思考问题，通过类比一元一次方程，建立分式方程的模型和解可化为一元一次方程的分式方程 。

【目标分析】

1. 教学目标

（1）了解分式方程的概念，会用去分母的方法解可化为一元一次方程的分式方程，知道解分式方程需要进行检验的原因和检验增根的方法。

（2） 探索分式方程解法的过程，体会化归思想、类比思想和程序化思想。

（3） 通过合作探究的活动，感受探究发现知识的乐趣，增强合作的意识。

2. 目标解析

达成目标 (1)的标志是：学生知道分式方程的特征，能识别分式方程。

达成目标 (2)的标志是：学生知道解分式方程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解” 4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为 X=a的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解。在解分式方程的过程中，体会化归思想 、 类比思想和程序化思想。

达成目标 (3)的标志是：学生知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于 0时，相当于原分式方程两边同时乘 0，使原方程的解发生变化，因此需要检验。

【教学过程设计】

教学流程	活动流程	活动内容及目的
	环节一 创设情境，了解分式方程的概念	以小明与小亮进行百米赛跑问题为背景创设问题情境，在揭示课题的同时帮助学生认识数学与生活的密切关系，激发其求知欲，通过所列方程为分式方程引出本节课。
	环节二 诱导尝试，探索分式方程的解法	出示 3个问题，以此引领学生探究发现、归纳步骤，理解解法的形成过程。
	环节三 再次探究，分析增根产生的原因	通过 2个追问，让学生了解分式方程产生增根的原因。
	环节四 变式训练，巩固分式方程的解法	通过有梯次训练题，巩固分式方程解法，达到举一反三，触类旁通。
	环节五 全课小结，反馈练习	将知识归类细化，纳入已有的知识体系。及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救。

创设情景，了解分式方程的概念

问题 1

出示问题情境： 小明与小亮进行百米赛跑。当小明到达终点时，小亮离终点还有 5m，如果小明比小亮每秒多跑 0.35m，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？

（学生交流、讨论，板演所列方程）：

解：设小亮的速度是 x米 ∕秒 ,由题意得： =

师：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？

设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性。

追问 1：下面这些方程 与刚才的方程有什么共同特征吗 ?

设计意图：让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数。

追问 2：你能再写出几个分式方程吗 ?

设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识。

2. 诱导尝试，探索分式方程的解法

问题 2

师：方法 2和方法 3的解法确实是不相同，但不同在哪儿？各自的原理、依据是什么？（一个是利用分式的基本性质，一个是利用等式的基本性质。）

它俩的解法有相同的地方吗？相同在哪儿？

得出结论：都是由分式方程化为整式方程。

问题 3

师：那什么叫整式方程？代数方程是如何分类的？看屏幕：

设计意图：直观呈现 “实数、代数式、代数方程的分类 ”，有效地拓展了内容，突出了知识之间的联系与综合，又节省了时间，提高了课堂效率。

问题 4

师：用两分钟解出一次方程 ，并思考解一次方程与分式方程的区别。

师：学生独立完成后，教师利用 “PPT”逐步类比、并列呈现出解一次方程与分式方程的步骤、方法。

设计意图：在呈现数、式、方程分类结构图时，已使学生充分感受到了类比的思想方法，所以学生很容易运用类比的方法很快解出方程（ 1）和（ 2）。其实我们在学习 15.1分式和 15.2分式的运算时，几乎每一节课都运用了分式与分数的类比，这样既突出了知识之间的联系与综合，又体现了重要的数学概念与数学思想螺旋上升。

3. 再次探究，分析增根产生的原因

问题 5

（学生完成后，对结果进行交流，学生会对方程的结果产生分歧，引发争执）

设计意图：让学生了解分式方程产生增根的原因。

问题 6

，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？

设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验。

4. 变式训练，巩固分式方程的解法

例 解下列方程：

设计意图：规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识。

5. 全课小结，反馈练习

【教学反思】

1. 本节课我们坚持以观察为起点， 突出 类比一元一次方程，通过自主探究，合作交流，教师引导的方式，鼓励学生从多 角度思考问题， 建立分式方程的模型和解分式方程 。以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，遵循由已知到未知、由浅入深、由易到难的认知规律，达到教学效果。

2. 为了实现上述教学理念，我们紧紧抓住教学重点：通过解简单分式方程使学生掌握解分式方程的基本思路和方法；分式方程无解的原因是本课的难点，为此我让学生通过对比，发现产生增根的原因，是由所乘的最简公分母决定的，从而体会验根的必要性和验根的方法，有效地突破了本节课的难点。

3. 在分式方程的教学中我们也还有一些困惑的地方，如分式方程的解法很多学生很快能够掌握，但初学者总是忘记解完方程后进行验根，这是让许多数学教师头疼的事情。当然在“分式方程”的第一课时不可能一下解决这个问题，但我们是不是可以在后面的教学中，除了每次碰到分式方程，要想尽办法让学生记住：分式方程必须要验根，反复强调外，还要训练学生一碰到分式便形成条件反射——分式的分母不能为零。或者讲例题时，先讲一个产生增根的，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，这也是解分式方程与整式方程最大的区别所在。这些问题都有待于在今后的课堂教学中加以研究和改进。