“解一元一次不等式”说课

廖丽娜：北京十一学校 中学高级

一、教材分析：

人教版教材本章知识是在学习了一元一次方程 (组 )的基础上研究简单的不等关系的。教材首先通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等。通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系。最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等 。

基本要求：

（1）了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

（2）理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；

（3）会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题；

（4）能够接受不等式的基本性质；

（5）了解从实际情境中抽象出一元一次不等式模型的过程；

（6）理解一元一次不等式的概念；

（7）理解并掌握解一元一次不等式的过程；

（8）会求一元一次不等式解集；

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程；

发展要求：

（1）体会不等式的基本性质在比较两式大小中所起的作用（作差法）；

（2）会从实际情景中抽象出一些简单的不等式问题并加以解决。

而高中关于不等式的学习是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，和高一教材第一章学习了集合与命题的基础上，去研究不等式的性质，一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式等一些不等式的解法并学习不等式的证明。高中对不等式要求有较高的要求，不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，在讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识。可见，初中不等式在中学不等式学习中占有重要地位，是进一步学习不等式的基础知识。

二、学情分析

学生对实际生活中数量大小比较，在小学时已有所了解，七年级时有理数的学习为学习不等式打下了基础，但用不等式表示数量的大小关系是一个新内容，部分学生对数量关系中的“不大于”、“是负数”、“是非负数”等数学术语的正确含义理解不清，造成把文字语言的不等关系转化为用符号表示的不等式会遇到困难，一些概念比如“不等式的解”“不等式解集”“不等式中未知数的取值范围”理解会有偏差，教学中应予以注意。还有一些易错易混问题，如

① 不等式的解与解集的概念混淆；

② 在对不等式变形和解不等式时，忽略当给不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变，有时还需分类讨论；

③ 在解一元一次不等式时，移项、去括号、去分母仍然是学生易错之处；

④ 在求不等式（组）的特殊解时忘求或多求、漏求；

⑤ 一元一次不等式（组）解集的式子表示和几何表示的转化时易出错；

⑥ 对“至少”、“不超过”、“不低于”等关键词含义的混淆；

⑦ 在应用一元一次不等式解决实际问题时，忽略题中对未知数的限制条件。

另一方面，七年级的学生已经具备了一定的创新意识，他们有强烈的独立思考、自主探索的愿望，这些对学生认识不等式都是很有帮助的。同时考虑到不等式内容 与有理数知识、整式知识、方程知识 、三角形知识的综合和平面直角坐标系等知识的综合，本章也是复习巩固前面各章有关概念，移项、去括号、去分母等基本运算技能的大好机会，为一部分待优生迎头赶上提供了大好机会。

三、《解一元一次不等式》教学目标

在教材分析和学情分析的基础上，结合预设的教学方法，确定了本节课的教学目标如下：

1. 认识一元一次不等式，能够根据代数式 判断一元一次不等式；

2. 强调一元一次不等式的解法分清何时该改变不等号的方向，何时不能改变不等号的方向；

3. 在解一元一次不等式过程中，继续复习巩固 移项变号、去括号、去分母等基本技能。

四、教学过程

针对以上几个问题，我列出了本节课的讲解顺序：

环节 1：认识一元一次不等式

导入语：在前面几节，我们学习了不等式的概念及其基本性质，那么接下来我们希望能够利用不等式的基本性质来解某些简单类型的不等式。可是，不等式的类型很多，要想研究不等式的解法，与研究方程类似，我们可以从最简单的不等式类型开始。

问题 1：那么，最简单的不等式类型是什么呢？

（学生回答问题，将回答进行梳理，得出定义）

由于最简单的方程类型是一元一次方程，于是，我们不妨称最简单的不等式类型是一元一次不等式，它的定义如下：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality of one unknown）。

（对定义用举例的方式进行阐释，帮助学生建立对定义的直观认识）

比如下面的不等式：

都满足：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，所以这几个不等式都是一元一次不等式。

问题 2：对于上面提到的这些一元一次不等式，我们该如何求解？

环节 2：先从简单的（有理数系数）一元一次不等式的解题开始，但在系数化为负时必须注意改变不等号方向的问题；

例 1 解下列不等式，并在数轴上表示出不等式的解：

（教师帮助进行审题分析）

(1)该不等式类型为 ，，不等号左边不能有常数项，因此，不等号左边的常数项“-2 ”改变符号后移到右边，再在不等式两边都除以-5 ；

（模仿教师对（1）小题的分析，请同学发言，进行第（2）小题的审题分析）

(2)该不等式类型为,不等号右边不能有含 的项，因此，不等号右边含 的项“-5 ”改变符号后移到左边；同理，不等号左边不能有常数项，因此，不等号左边的常数项“ ”改变符号后移到右边，然后左右两边分别合并同类项。

（黑板板演，规范解题步骤）

（教师帮助进行审题分析）：此不等式中含有括号，不能直接利用移项与合并同类项．于是得先去括号，就能化为例 1的类型；

 

环节 4： 引入去分母问题，再次强调改变不等号的问题，巩固去括号的注意点，并巩固在数轴上表示不等式的解集能力。

例 3 解下列不等式 ，并在数轴上表示出不等式的解：

（教师帮助进行审题分析）

此不等式中除了含有括号之外，还含有分母。如果仿照例 2，先去括号，则在合并同类项时会遇到分数的通分运算，计算比较复杂。（教师提示）若能先去分母，把原来不等式中未知数的系数与常数项化为整数，则可以降低解不等式的计算量。当然，为了去分母，需要在不等式两边同乘以所有分母的公倍数，通常同乘以最小公倍数。

解： 在不等式两边同乘以 12，得

小结：去括号与去分母，也是解不等式常用的方法。

环节 5：最后通过总结，掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程。

由上述例题的求解过程，我们可以得到解一元一次不等式的一般步骤：

(1) 去分母（如果不等式两边所乘的数为正数，不等号的方向不变；如果不等式两边所乘的数为负数，不等号的方向要改变）；

(2) 去括号；

(3) 移项；

(4) 合并同类项；

(5) 不等式的两边都除以未知数的系数（如果除数为正数，不等号的方向不变；如果除数为负数，不等号的方向要改变）。

在上述过程中，要特别注意，在去分母，或两边同时除以未知数的系数这些步骤中，如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，那么根据不等式性质，不等号的方向必须改变。

（固化算法，板演）

以上步骤用框图可表示如下（以例 3为例）：

 

 

 

上面的 步骤就是求解一元一次不等式的 流程图，简记为：

1. 去分母；

2. 去括号；

3. 移项；

4. 合并同类项；

5. 系数化为 1 。

设计意图：将问题解决程序化，用程序框图表示求解过程自然地融入了算法思想等，从而帮助学生建立强大而稳定的解题经验。

环节 6：课后练习：

教材的练习 1题、复习巩固 6题。

作业的设计，可以让学生巩固所学知识。

本课时教学建议 ：

解一元一次不等式设计了 2课时，简单的有理系数的一元一次不等式是第一课时。在本节课上，首先在一元一次不等式建立模型的基础上，明确什么是一元一次不等式，教学中要切实让学生通过回顾、观察、思考、归纳出一元一次不等式的概念。并与以前学过的一元一次方程、一元一次函数等概念加以比较 ,进一步加深对这些概念的理解。

明确了什么是一元一次不等式之后 ,通过例题正式进入怎样解一元一次不等式的研究 ,并给出规范的解的过程。这里尽可能地让学生思考 ,让学生说一说每一步变形的理由 ,增强学生的代数推理能力。对于学生可能出现的解不等式的常见错误 ,教师不要急于纠正 ,要让学生充分发表自己的见解，并养成自我检查解题步骤的良好学习习惯 ,以达到事半功倍的效果。因为解一元一次不等式实际上可以看作是一个固定的算法程序（计算机可以处理），所以不妨考虑用程序算法来保证解题的正确性。