“一次函数的图象和性质”说课

荆青娟：首都师范大学附属育新学校 中学高级  

一、数学分析

德国著名数学家克莱因 (F.Klein,1849一 1925)称函数是数学的灵魂，并主张函数将是中学数学的基石。运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想 ,并把函数概念和方法置于整个 数学的中心地位。 “微积分研究对象是函数 ,几何图形则成为函数的图像 "自然界和人类社会的各种事物、事件之间的联系与变化都有可能以各种函数作为它们的数学模型来表述。”

函数从中学数学知识的结构看 ,函数是代数的灵魂 ,是中学数学的核心内容 ,它贯彻于中学教学的始终 ,其思想和方法辐射到代数式、方程、不等式、求极限、几何等数学领域，它是培养学生逻辑思维能力和辨证唯物主义观念的好素材。

函数建立中的模型思想，函数观点，是学生可以从运动变化的角度认识原来静止的事物。函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想，是“数”与“形”的统一体，蕴涵了变化与对应的数学思想。三类函数给了我们研究函数的一般方法。

从运算角度看，三类函数是在学生对一次方程（组）及不等式、二次方程、分式方程等为基础的教学模型的已有认识上，从变化和对应角度，对运算进行深入的讨论。

二、标准分析

（一） 2011版课标中对函数图象与性质的要求的分析

【 2011版课标要求】

1. 能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式 探索并理解 和 时，图形的变化情况；

2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解 和 时，图形的变化情况；

3. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。

课标对三种函数的要求从大的方面看，都是画函数图象，探索函数性质。但对具体函数的要求又有所不同：对于一次函数和反比例函数，都是能画出函数图象，从数和形两个方面探索并理解参数对图象的影响，对二次函数明显要求降低，要求会画二次函数的图象，只从形的角度了解二次函数的性质。

我认为课标对三种函数要求上的共性一方面既凸显了函数的数形结合思想、对应思想，由解析式画函数图象，从解析式、表格、图象三个角度看性质，从函数角度培养学生的几何直观，另一方面又让学生感觉到函数的研究方法有一定的模式。

课标对三种函数要求上的变化是由函数自身的复杂程度、学生的认知水平和已有经验决定的，比如一次函数和反比例函数，学生在列表和从表达式的角度探索参数对函数的影响时运算量小难度系数不大，符合学生的认知水平，学生较容易达到课标要求 .而对于二次函数，不管是一般式还是顶点式都是二次运算，运算量增大，学生在列表取点和从表达式的角度探索参数对函数的影响时因为运算量增加了难度，所以对二次函数要求有所降低。

（二）与实验稿课标要求对比分析

【实验稿课标要求】

1. 能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和 解析表达式 探索并理解 其性质和 时，图形的变化情况 ） ；

2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式 探索并理解其性质和 时，图形的变化情况）；

3. 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

课标对对函数的图象和性质主干知识要求没有变化，可以看出函数作为初中数学的核心知识的地位没有改变，研究函数的基本方法不变。

课标对函数的图象和性质有些细节的变化，实验稿要求“能从图象上认识二次函数的性质”， 2011版课标要求“通过图象了解二次函数的性质”，要求降低了。这种要求上的变化，我认为 2011版的课标理念上的变化，更加看重学生的基本知识、基本技能、基本思想、基本的活动经验的培养，更加看重学生数学思维的培养，降低运算量上的难度。

三、教材对比分析

（ 1 ）年级：北师大版教材对一次函数图象和性质的教学放在了八年级上册的位置，人教版教材对一次函数图象和性质的教学放在了八年级下册的位置。

（ 2 ）章节顺序：人教版的教材顺序是在七年级下册学习平面直角坐标系，在八年级下册学习一次函数，九年级上册学习二次函数，九年级下册学习反比例函数，在学习这些内容之前，分别学习了一次方程（组）、分式方程和一元二次方程。在一次函数一章，先学习函数的概念和图象，从整体的角度了解函数的三种表示方式，在对函数概念初步讨论后，转入对一种具体的初等函数的讨论。在“一次函数”一节，先从讨论特殊的一次函数正比例函数开始，对正比例函数的定义、图象和性质的讨论，为一次函数的讨论奠定基础。

北师大版的 教材顺序七年级下册学习变量之间的关系，八年级上册学习位置的确定和一次函数，九年级上册学习反比例函数，九年级下册学习二次函数。一次方程在一次函数之前学习，一次方程（组）、一次不等式（组）放在了一次函数之后学习。在一次函数一章，在学习过函数的概念之后，直接对一次函数的概念、图象进行研究，正比例函数作为特殊的一次函数融入一次函数的研究。

结论：

不同的章节安排凸显了不同版本教材的编排理念 .人教版教材按代数运算类型划分阶段，将函数作为方程的后续内容，从函数的角度对方程 (组）、不等式进行重新的认识，站在更高的起点上进行动态分析，加强知识间横纵向的融汇贯通。在一次函数一章，按照认识事物先整体后局部、先特殊后一般的顺序设计，突出函数图象作为研究函数的重要工具和数形结合研究问题的思想，比较符合学生的认知特点 , 对学生高中函数的学习，研究函数的方法有指导意义。北师大版的教材的安排突出知识之间的内在联系，不等式、方程和函数一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，函数刻画事物之间对应变化的过程，方程刻画某个时刻的变化，不等式则刻画的是变化过程中同类量之间的一个普遍现象，引导学生初步体会从整体中把握部分思维方式，渗透函数、方程和不等式思想和数形结合等重要思想，拓宽学生视野。在一次函数一章，从局部到整体、从一般到特殊的顺序设计，个人认为不如人教版教材设计的合理。

四、重点分析

画一次函数的图象和探索参数 的对一次函数图象的影响是本节课的重点。

前面学生经历了通过列表、描点、连线画一般函数图象和用两点法画正比例函数图象的过程，但还不够特别的熟悉和熟练，通过画一次函数的图象探索一次函数的图象的形状，进一步发现两点法和平移法画一次函数图象的简便方法，为探索一次函数的性质做好准备，所以我把画一次函数的图象作为本节课的一个重点。

一次函数的研究既是正比例函数的拓展，又是继续学习反比例函数、二次函数等其它函数的基础，让学生了解研究一类函数的基本方法——研究参数对函数的影响，所以本节课将探索参数 的对一次函数图象的影响作为本节课的重点。

五、学情分析

学生已经学习了画函数图象的基本方法、用两点法画正比例函数的图象，但还不够特别的熟悉和熟练；学生已经学习了研究正比例函数中参数 对函数的影响，但对研究函数的基本方法还比较模糊；学生较容易分裂的看函数的三种表示方法，容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题。

本节课在每个教学环节都安排学生画一次函数的图象，但要求不同，问题 1复习正比例函数图象的画法；问题 2的前两个画图是复习画函数图象的基本方法，进而发现一次函数图象是一条直线的事实，为两点法画一次函数的图象做好准备；问题 2的其它画图，复习两点法和探索简便取点的方法；问题 3、 4是更熟练的画一次函数图象 ,固化画一次函数的图象的方法。

学生对 研究函数的基本方法还比较模糊，针对这个问题，本节课的设计分两部分进行：（ 1）类比正比例函数中的参数 对函数的影响学习一次函数，把新知化旧知；（ 2）通过六个平面直角坐标系中的一次函数的图象比较分析，发现参数 对函数的影响 .最后总结中通过对参数 对函数的影响使学生对研究函数的方法有个初步的认识。

针对学生分裂的看函数的三种表示方法的问题，在教学设计中有意识地加强对一次函数 与正比例函数 解析式、列表的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力。

对于本节课一次函数的性质的探究，让学生经历“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的过程，通过画函数图象和结合解析式、表格的研究分析 ,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透数形结合的思想，同时结合一次函数 的图象与正比例函数 图象之间的关系类比得出一次函数的性质。

六、教学设计

（一）教学目标

1.会画一次函数的图象，能从图象、表达式的角度理解函数与的关系，理解参数的对两个变量对应关系和图象的影响；

2.在比较函数与的过程中体验转化思想和类比思想；在探索索参数的对一次函数图象的影响的过程中，体验数形结合的思想，发展学生观察、分析、比较、抽象及概括能力，发展几何直观；

3.通过对一次函数的定性和定量研究，使学生初步感受和理解研究函数的一般方法.

（二）教学重难点

教学重点：画一次函数的图象和探索参数的对一次函数图象的影响。

教学难点：从数和形两个角度探索和发现参数的对一次函数图象的影响，实现学生对一次函数的表象认识上升到理性认识。

（三）教学过程

活动1：复习引入

问题1：看课前导学单中画的下列正比例函数的图象，回顾中参数对正比例函数图象的影响。（在学案中给出表格、画好坐标系）

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

【设计意图】

1.从学生熟悉的问题画正比例函数图象入手，通过系数正负和整分的变化，提高学生运算能力。复习列表、描点、连线画函数图象的方法，体会函数的三种表达方式中两个变量之间的对应关系，为本节课画一次函数的图象做好准备；

2.通过数、形两方面回顾中参数对正比例函数图象的影响，为探索一次函数的参数对图象的影响做好铺垫。

活动2：探索新知

问题2：对应问题1中的题号，借助问题1中的表格和坐标系，用不同颜色的笔画下列一次函数的图象，并回答问题。

（1）；   （2）；    （3）；

（4）；  （5）；   （6）.

探究：

（1）一次函数的图象形状是什么？为什么？

（2）如何简便画出一次函数的图象？（3）类比正比例函数，一次函数中参数对图象有什么的影响？并在此基础上表述函数的性质；

【设计意图】

1.通过类比正比例函数，对一次函数进行定性、定量分析，探索发现一次函数中参数对图象的影响与旧知正比例函数相同；

2.从解析式、表格、图象三个角度让学生发现一次函数图象的形状，进一步发现正比例函数与一次函数的关系；

3.达成“会画一次函数的图象，能从图象、表达式的角度理解函数与的关系，理解参数的对一次函数图象的影响”的教学目标。

活动3：深入研究

问题3：对应问题1中的题号，继续借助问题1中的表格和坐标系，画下列一次函数的图象，并回答问题。

（1）；    （3）；       （4）；    （6）.

探究：

（1）直线与直线的关系如何？

（2）直线中对两个变量对应关系的影响如何？对函数的图象有什么影响？

（3）对照图象，发现三个问题中的的不同取值、、，对一次函数图象的影响。

直线、、有什么样的位置关系？是什么导致了这种特殊的位置关系？如果在同一坐标系

画出问题3中的所有直线，它们的位置有什么样的关系？

【设计意图】通过动手实践，巩固两点法画图的方法，巩固参数对两个变量对应关系、对图象的影响。从“数”和“形”两方面归纳参数的取值对函数图象的影响，体验数形结合的思想，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，发展几何直观能力。

活动5：小结评价

通过这节课的学习，你有什么收获？

知识：一次函数图象的画法和参数对函数的影响；

方法：类比、转化、数形结合

设计意图：引导学生从知识和方法两个方面进行总结，强化对知识的理解和记忆，同时对研究函数的方法有初步的认识.

活动6：分层作业

A层（巩固作业）教科书第99页的第4、5、9、12、14题。

B层(预习作业)思考求一次函数的解析式需要几个条件，如何求？

C层（探究作业）分别在同一直角坐标系中画出（1）（2）中各函数的图象，

（1）；        ;

探究：（1）每个函数中当增大时如何变化；

（2）直线在位置上有什么关系？是什么导致了这种位置关系的存在？直线与有这种位置关系吗？

设计意图：（1）阅读作业的目的为了培养学生的数学阅读能力，同时养成学生及时复习梳理知识的良好学习习惯。

（2）通过巩固性作业使学生巩固落实课堂所学的知识。

（3）探究作业是为下节课学习利用待定系数法求一次函数解析式作铺垫。

作业

【设计意图】1.巩固一次函数图象的画法及对函数的影响；2.拓广探索互为负倒数时两条直线的位置关系，实现知识向能力的转化。