“反比例函数的图象与性质”说课

郭祥峰：北京市十一学校 中学高级

一、教学分析

“反比例函数”属于《数学课程标准》（实验稿）中“数与代数”领域的基本内容 ， 函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数之一，它是 在已经学习了“平面直角坐标系”和“一次函数”的基础上， 再一次研究具体的初等函数问题，而对反比例函数的理解以及用函数观念解决实际问题的经验，对今后“二次函数”以及高中阶段其它函数的学习会奠定扎实的基础 。

对函数的认识，应该把“解析式”与“图形”结合起来，以利于更好地探究两个变量之间“变化中的规律性” 。 从“数”的方面的强调，无疑会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确，这时就要用到运算 。 反比例函数的解析式 是以自变量 x为分母的分式，所以反比例函数的研究始终都离不开分式的运算 。

二、标准分析

《标准》对反比例函数的要求有以下三个方面：（ 1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；（ 2）能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解 k >0 和 k ＜ 0时，图象的变化情况；（ 3）能用反比例函数解决简单的实际问题。

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对函数的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容 。 教材中对函数的学习不是一蹴而就的，而是按照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计的 。 对于一次函数、反比例函数、二次函数的研究，教材都采用“问题情境 ——建立模型 ——解释、应用与拓展”的模式展开，所以新知识的学习都是以对相关问题情境的研究作为开始，它们是学生了解与学习这些知识的有效切入点 。

三、教材对比分析

新版人教版教材把“反比例函数”放在“二次函数”之后，这个变化可以从运算的角度来理解 。 一次函数和二次函数的解析式都是整式，而反比例函数解析式是分式，先学习一次函数和二次函数再研究反比例函数，符合代数式的学习顺序：先整式后分式 。

一次函数 y=x 、二次函数 和反比例函数 都是幂函数，但自变量 x 的 指数由正整数到负整数，解析式也就由整式到分式，自变量取值范围也由 取任意实数到 x ≠0 ，函数值由 y 取任意实数到 y ≠0 ， 函数图象也因此由“连续”到“间断” 。

四、重点分析

“反比例函数的图象图象和性质”的教学重点是会画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质 。

对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的“三步曲（列表、描点、连线）”，所以，学生对每步要求的理解并不深刻 。 因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：

（ 1）“列表”时确定自变量 x 的取值缺乏代表性及忽略 x ≠0 等现象；

（ 2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；

（ 3）对双曲线与 x轴、 y轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解。

教学时，应注意进行有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先运用分式的运算进行“数”（ x ≠0 ， y ≠0 ， k ≠0 ）和“式”（解析式中 x、 y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识 。

在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难 。 教学中，应注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动 。

五、教学设计

“反比例函数的图象和性质”（第一课时）

教学目标：

1 ．知识技能目标：

（ 1）会画反比例函数图象 。

（ 2）能应用数形结合和转化思想，根据反比例函数的图象探究其性质 。

（ 3）通过用“数”解释“形”的过程，让学生体会分式运算在反比例函数研究中的重要性，从而进一步提高学生的分式运算能力 。

（ 4）培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力 。

2 ．过程与方法目标：类比一次函数，从反比例函数解析式入手 , 先由“数”到“形”，再由“形”到“数”，以“数”与“形”的转化为途径，展开反比例函数的探究 。

3 ．情感、态度、价值观目标：

体会一次函数和反比例函数在研究方法上的共性，使学生认识到事物之间是相互联系的，从而树立辨证的世界观 。

教学重点： 会画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质 。

教学难点： 准确画出反比例函数的图象，理解反比例函数的性质，并能灵活应用 。

教学方法 ：以学生为主体的探究式教学法 。

教学过程可被分为四个部分：

第一部分：由“问题 1 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？”引入，可以让学生以正比例函数 y = 6x 为例来说明 。

第一部分设计目标：让学生通过对问题的思考和讨论，明确研究函数应该从已知的解析式入手，关注对“解析式”的分析，先由“解析式”到“作图”，再到“性质”，从形状、位置、变化趋势三个方面去研究函数 。

第二部分由“   问题 2　反比例函数的图象是什么样的？”引入 ,   以画出反比例函数 的图象为例，教师引导学生经历列表、描点、连线的过程 。 由分式的运算我们知道分式的分母不能为 0 ，所以反比例函数自变量的取值范围是 x ≠ 0 。 列表时，要关注学生是否注意到自变量的取值范围，同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征 。 我们知道列表时求函数值 y 的过程，实际上是已知的值代入求分式 的值的过程。

第二部分设计目标：通过列表的过程让学生初步体会分式运算在反比例函数研究中的重要性，并进一步提高分式运算的能力；同时要学生经历通过分式的运算由“解析式”到“作图”的研究函数的过程 。

第三部分是由“问题 3　请观察反比例函数 图象的以下特征：形状、位置、变化趋势；问题 4　是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？以讨论反比例函数 为例；问题 5　反比例函数 与 的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？问题 6　当 取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？问题 7　总结反比例函数 图象的特征和性质”五个问题的探究和一组课堂练习组成 。

第三部分是一个由“形”到“数”的过程，要求学生类比一次函数，由特殊到一般观察反比例函数的图象得出函数的性质 。 课堂练习是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程 。

第三部分的设计目标：让学生明确由“形”到“数”主要研究函数图象的形状、位置、变化趋势，并能够应用这些性质解决一些简单的问题 。

第四部分由“问题 8　从解析式的角度，应用分式运算的有关知识，解释反比例函数图象特征和性质的合理性”引入 , 教师引导学生从“数”的方面分析函数，强调“回归”解析式的必要性，使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确，可以先由具体的数再过度到一般情况来验证 。

我们知道反比例函数图象无论在哪一个象限，图象都无限延伸，都无限接近 x 轴和 y 轴，但永远不会到达 x 轴和 y 轴，就是因为 x ≠0 、 y ≠0 。

由分式运算的符号法则我们知道，当 k >0 时反比例函数解析式中变量 x ， y 符号相同，所以双曲线的两个分支分别位于一、三象限；当 k <0 时 x 、 y 的符号相反，所以双曲线的两个分支分别位于二、四象限 。

当 k >0 时，由分式运算可知分母越大分式的值越小，所以自变量 x 的值越大函数值 y 越小，在一、三象限内图象从左到右都是下降趋势；当 k <0 时，由分式运算可知分母越大分式的值越大，所以自变量 x 的值越大函数值 y 越大，在二、四象限内图象从左到右都是上升趋势 。

不论 k 的符号如何，若已知图象上点 (x,y) ，当自变量取 -x 时，由运算可知函数值为 -y ，得到图象上的点 (-x,-y) 。 由于点 (x,y) 和点 (-x,-y) 关于原点中心对称，所以双曲线是以原点为中心的中心对称图形 。

第四部分设计目标：要学生利用分式的运算从解析式的角度验证、解释反比例函数的性质 , 再次体会分式运算在反比例函数研究中的重要性，并通过应用进一步提高分式运算的能力 。

六、教学方式的突破 *

关于数形结合的处理

在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线 。

主要反映在以下三个方面 :

第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用 。 本课的教学设计中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系 。

第二，在“列表取值为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析 。 即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一 。 于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析 。

第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的也是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程 。

重视“类比”的学习方法

展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比” 。 在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应 。